相関係数 | ||||||||||
Pearson の相関係数 | ||||||||||
V1 | V2 | V3 | V4 | V5 | V6 | V7 | V8 | V9 | ||
V1 | 1.000 | .650 | .650 | .650 | .650 | .500 | .500 | .500 | .500 | |
V2 | .650 | 1.000 | .650 | .650 | .650 | .500 | .500 | .500 | .500 | |
V3 | .650 | .650 | 1.000 | .650 | .650 | .500 | .500 | .500 | .500 | |
V4 | .650 | .650 | .650 | 1.000 | .650 | .500 | .500 | .500 | .500 | |
V5 | .650 | .650 | .650 | .650 | 1.000 | .500 | .500 | .500 | .500 | |
V6 | .500 | .500 | .500 | .500 | .500 | 1.000 | .600 | .600 | .600 | |
V7 | .500 | .500 | .500 | .500 | .500 | .600 | 1.000 | .600 | .600 | |
V8 | .500 | .500 | .500 | .500 | .500 | .600 | .600 | 1.000 | .600 | |
V9 | .500 | .500 | .500 | .500 | .500 | .600 | .600 | .600 | 1.000 |
説明された分散の合計 | |||||||
初期の固有値 | 抽出後の負荷量平方和 | 回転後の負荷量平方和 | |||||
因子 | 合計 | 分散の% | 累積% | 合計 | 分散の% | 累積% | 合計 |
1 | 5.47 | 60.8 | 60.8 | 5.10 | 56.7 | 56.7 | 4.79 |
2 | 0.93 | 10.3 | 71.1 | 0.55 | 6.1 | 62.8 | 4.48 |
3 | 0.40 | 4.4 | 75.6 | ||||
4 | 0.40 | 4.4 | 80.0 | ||||
5 | 0.40 | 4.4 | 84.4 | ||||
6 | 0.35 | 3.9 | 88.3 | ||||
7 | 0.35 | 3.9 | 92.2 | ||||
8 | 0.35 | 3.9 | 96.1 | ||||
9 | 0.35 | 3.9 | 100.0 | ||||
因子抽出法:主因子法 | |||||||
a因子が相関する場合は、負荷量平方和を加算しても総分散を得ることはできません。 |
因子行列(回転前) | |||
因子 | |||
1 | 2 | ||
V1 | 0.778 | -0.211 | |
V2 | 0.778 | -0.211 | |
V3 | 0.778 | -0.211 | |
V4 | 0.778 | -0.211 | |
V5 | 0.778 | -0.211 | |
V6 | 0.720 | 0.285 | |
V7 | 0.720 | 0.285 | |
V8 | 0.720 | 0.285 | |
V9 | 0.720 | 0.285 | |
因子抽出法:主因子法 | |||
a2個の因子が抽出されました。 5回の反復が必要です。 |
パターン行列 | ||
因子 | ||
1 | 2 | |
V1 | 0.806 | 0.000 |
V2 | 0.806 | 0.000 |
V3 | 0.806 | 0.000 |
V4 | 0.806 | 0.000 |
V5 | 0.806 | 0.000 |
V6 | 0.000 | 0.775 |
V7 | 0.000 | 0.775 |
V8 | 0.000 | 0.775 |
V9 | 0.000 | 0.775 |
因子抽出法:主因子法 回転法:Kaiserの正規化を伴うオブリミン法 | ||
a6回の反復で回転が収束しました。 |
因子相関行列 | ||||
因子 | 1 | 2 | ||
1 | 1.000 | 0.801 | ||
2 | 0.801 | 1.000 | ||
因子抽出法:主因子法 回転法:Kaiserの正規化を伴うオブリミン法 |
固 有 値 | Horn 1965 | Longman et al. 1989 | 対角SMCの固有値 | Humphreys & Ilgen 1969 | Zoski & Jurs 1996 | Velicer 1976 | Kano 1990 | ||
対角1 PA | 対角SMC PA | SEScree | MAP | ||||||
0 | pararrel analysis 平均 | pararrel analysis 95%点 | pararrel analysis 平均 | pararrel analysis 95%点 | se | 0.3163 | S-Ψhat の 固有値 | ||
1 | 5.4716 | 1.148 | * 1.189 | 5.026 | 0.154 | 0.195 | 1.436 | 0.0385 | * 4.472 |
2 | 0.9284 | 1.096 | 1.123 | 0.470 | 0.105 | * 0.136 | * 0.161 | * 0.0359 | -0.072 |
3 | 0.4000 | 1.063 | 1.086 | -0.067 | 0.069 | 0.094 | 0.015 | 0.0846 | -0.600 |
4 | 0.4000 | 1.030 | 1.053 | -0.067 | 0.037 | 0.061 | 0.016 | 0.1840 | -0.600 |
5 | 0.4000 | 0.998 | 1.022 | -0.067 | 0.004 | 0.024 | 0.018 | 0.0455 | -0.600 |
6 | 0.3500 | 0.968 | 0.992 | -0.067 | -0.026 | -0.005 | 0 | 0.0889 | -0.650 |
7 | 0.3500 | 0.937 | 0.965 | -0.087 | -0.053 | -0.031 | 0 | 0.1602 | -0.650 |
8 | 0.3500 | 0.901 | 0.929 | -0.087 | -0.089 | -0.063 | 0.3059 | -0.650 | |
9 | 0.3500 | 0.860 | 0.894 | -0.087 | -0.129 | -0.102 | -0.650 | ||
比較の数値 | (SE=0.111) | (D0=0.43) | |||||||
因子数 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 1 |
Pearson の相関係数 | |||||||||
V1 | V2 | V3 | V4 | V5 | V6 | V7 | V8 | V9 | |
V1 | 1.000 | 0.708 | 0.708 | 0.708 | 0.708 | 0.500 | 0.500 | 0.500 | 0.500 |
V2 | 0.708 | 1.000 | 0.708 | 0.708 | 0.708 | 0.500 | 0.500 | 0.500 | 0.500 |
V3 | 0.708 | 0.708 | 1.000 | 0.708 | 0.708 | 0.500 | 0.500 | 0.500 | 0.500 |
V4 | 0.708 | 0.708 | 0.708 | 1.000 | 0.708 | 0.500 | 0.500 | 0.500 | 0.500 |
V5 | 0.708 | 0.708 | 0.708 | 0.708 | 1.000 | 0.500 | 0.500 | 0.500 | 0.500 |
V6 | 0.500 | 0.500 | 0.500 | 0.500 | 0.500 | 1.000 | 0.676 | 0.676 | 0.676 |
V7 | 0.500 | 0.500 | 0.500 | 0.500 | 0.500 | 0.676 | 1.000 | 0.676 | 0.676 |
V8 | 0.500 | 0.500 | 0.500 | 0.500 | 0.500 | 0.676 | 0.676 | 1.000 | 0.676 |
V9 | 0.500 | 0.500 | 0.500 | 0.500 | 0.500 | 0.676 | 0.676 | 0.676 | 1.000 |
相関係数の大きさは第1固有値の大きさなどと関係するので、この相関係数なら必ずPAが成功するというものではない。一般に第1固有値が小さいと相関はより小さくないとPAはうまくいかない。
(c)実際のデータにおいて対角1のPAが失敗する場合(Thurstone & Thurstone, 1941)
ところで、この場合、多くの判定法が成功しているが、多くが失敗する例として、Thurstone & Thurstone(1941) の21変数のデータがある。8年生437人に基本能力検査を実施した。
固有値 | 分散の % | 累積 % | |
1 | 7.37 | 35.1 | 35.1 |
2 | 2.38 | 11.3 | 46.4 |
3 | 1.57 | 7.5 | 53.9 |
4 | 1.26 | 6.0 | 59.9 |
5 | 1.18 | 5.6 | 65.5 |
6 | 0.94 | 4.5 | 70.0 |
7 | 0.85 | 4.1 | 74.0 |
8 | 0.71 | 3.4 | 77.4 |
9 | 0.59 | 2.8 | 80.2 |
10 | 0.49 | 2.4 | 82.6 |
11 | 0.48 | 2.3 | 84.9 |
12 | 0.46 | 2.2 | 87.1 |
13 | 0.43 | 2.0 | 89.1 |
14 | 0.38 | 1.8 | 90.9 |
15 | 0.37 | 1.7 | 92.7 |
16 | 0.33 | 1.6 | 94.2 |
17 | 0.32 | 1.5 | 95.7 |
18 | 0.30 | 1.4 | 97.2 |
19 | 0.26 | 1.2 | 98.4 |
20 | 0.19 | 0.9 | 99.3 |
21 | 0.15 | 0.7 | 100.0 |
(9)最近のプログラム事情。インターネットにおいてPsycINFOを検索してみると,2000に2件のparallel analysisのプログラムが発表されている。Kaufman and Dunlap(2000)とO'Connor(2000)である。今までのプログラムはメインフレームやDOS版であったのがWindows版がでたということである。私(2001)もexcel版を作ってみた。すでにコンピュータのcpu速度も十分なので、コンパイルをしないexcelvbaにおいてもそこそこの時間で処理できる。57変数、240サンプルを50試行のparallel analysisにおいて10数分である。少ない変数なら1秒か2秒で処理する。O'Connor(2000)の、SPSS、SAS,MATLABプログラムはO'Connorのサイトにある。SPSSのマクロと私のexcelのプログラムの処理結果を見ると、SPSSのマクロのほうが圧倒的に速い。
Allen, S. J.& Hubbard, R.(1986). Regression equations for the latent roots of random data correlation matrices with unities on the diagonal. Multivariate Behavioral Research, 2, 393-398.
Buja, A. and Eyuboglu, N. (1992). Remarks on parallel analysis. Multivariate Behavioral Research, 27, 509-540.
Cota, A. A., Longman, R. S., Holden, R. R., and Fekken, C. G.(1993a).Interpolating 95th percentile eigenvalues from random data: An empirical example. Educational and Psychological Measurement. 53, 585-596.
Cota, A. A., Longman, R. S., Holden, R. R.,& Fekken, G. C. (1993b). Comparing different methods for implementing parallel analysis: A practical index of accuracy. Educational and Psychological Measurement, 53, 865-876.
Glorfeld, L. W.(1995). An improvement on Horn's parallel analysis methodology for selecting the correct number of factors to retain. Educational and Psychological Measurement, 55, 377-393.
Guttman, L. (1954). Some necessary conditions for common factor analysis. Psychometrika, 19, 194-162.
服部環 (2002). 因子分析 http://www.human.tsukuba.ac.jp/~hattori/faccon/faccon.html 2003年2月28日
服部環 (2003). 共通因子数の決定とそれを援助するためのコンピュータ・プログラムの開発. 応用心理学研究, 28, 135-144.
堀 啓造(2001). 因子分析の因子数決定法(spss script) http://www.ec.kagawa-u.ac.jp/~hori/spss/spss.html#nfactors
堀 啓造(2002). excel vba program for faccon.exe コバンザメアプリ http://www.ec.kagawa-u.ac.jp/~hori/delphistat/hattori.html
堀 啓造(2003). # 因子数決定法の検討−Holizinger and Swineford(1939)の知能データをもとにして http://www.ec.kagawa-u.ac.jp/~hori/yomimono/pa2.html
Horn, J. L. (1965). A rationale and test of the number of factors in factor analysis. Psychometrika, 30, 179-185.
Humpherys, L. G. and Ilgen, D. L.(1969). Note on a criterion for the number of common factors. Educational and Psychological Measurement, 29, 571-578.
Humphreys, L. G. and Montanelli, R. G. (1975). An investigation of the parallel analysis criterion for determining the number of common factors. Multivariate Behavioral Research, 10, 193-205.
John, O. R. and Benet-Martinez, V. (2000). Measurement: Reliablity, construct validation, and scale construction. In H. T. Reis and C. M. Judd (eds.), Handbook of research methods in social and personality psychology(pp.339-369). Cambridge University Press.
Kaiser, H. F. (1960).The application of electronic computers to factor analysis. Educational and Psychological Measurement, 20, 141-151.
Kano, Y. (1990). Noniterative estimation and the choice of the number of factors in exploratory factor analysis. Psychometrika, 55, 277-291
Kaufman, Je. D.,& Dunlap, W. P. (2000). Determining the number of factors to retain: A Windows-based FORTRAN-IMSL program for parallel analysis. Behavior Research Methods, Instruments & Computers. 32, 389-395.
Keeling, K. B. (2000). A regression equation for determining the dimensionality of data. Multivariate Behavioral Research, 35, 457-468.
Lautenschlager, G. J., Lance, C. E.,& Flaherty,V.L. (1989). Parallel analysis criteria: Revised regression equations for estimating the latent roots of random data correlationmatrices. Educational and Psychological Measurement, 49, 339-345.
Longman, R. S., Cota, A. A., Holden, R. R.,& Fekken, G. C.(1989). A regression equation for the parallel analysis criterion in principal component sanalysis: Mean and 95th percentile eigenvalues. Multivariate Behavioral Research, 24, 59-69.
Montanelli, R. G.& Humphreys, L. G.(1976). Latent roots of random data correlation matrices with squared multiple correlations on the diagonal: A montecarlo study. Psychometrika, 41, 341-348.
O'Connor, B. P. (2000). SPSS and SAS programs for determining the number of components using parallel analysis and Velicer's MAP test. Behavior Research Methods, Instruments & Computers. 32, 396-402. spss, sas, matlab プログラム
Schweizer, K. (1992). A correlation-based decision-role for determining the number of clusters and its efficiency in uni- and multi-level data.Multivariate Behavioral Research, 27, 77-94.
Thompson, B. (1996). Factor analytic evidence for the construct validity of scores: A historical overview and some guidelines. Educational and Psychological Measurement, 56, 197-208.
Thurstone, L. L. and Thurstone, T. G. (1941). Factorial studies of intelligence. University of Chicago Press. (Psychometric monograph ; no. 2).
Turner, N. E. (1998). The effect of common variance and structure pattern on random data eigenvalues: Implications for the accuracy of parallel analysis.Educational and Psychological Measurement. 58, 541-568.
Velicer, W. F. (1976). Determining the number of components from the matrix of partial correlations. Psychometrika, 41, 321-327.
Zoski, K. W., and Jurs, S. (1996). An objective counterparts to teh visual scree test for factor analysis: The standard error scree. Educational and Psychological Measurement, 56,443-451.
Zwick, W. R. & Velicer, W. F.(1986).Comparison of five rules for determining the number of components to retain. Psychological Bulletin, 99, 432-442.