因子数決定4

因子数決定におけるマイナー因子の影響の検討

堀　啓造（香川大学経済学部） 2003/12/25

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最終更新日:　( 2003/12/25)

因子分析においてマイナー因子の影響は重要である。平行分析においてランダム効果については考慮しているが、マイナー因子については考慮していない。マイナー因子の問題を検討したのはTucker et al.(1969)である。MacCallum et al.(2001) はTucker らの相関行列作成法から母相関行列を作成し、その行列を公開している。この行列を利用して因子数決定法の検討をする。

MacCallumらは、３つの側面を操作している。
(1)因子決定性（１因子あたりの項目数。20項目、３因子or 7因子）
(2)共通性の大きさ（ high (.6 to .8),low (.2 to .4), wide(.2to .8)）
(3)マイナー因子の大きさ（RMSEAの大きさ, 0.065, 0.090, 0.020）
このうち(1)の操作には問題がある。20項目７因子の複数の場合に7因子を再現できなかった。つまり、７因子の場合に一つの因子に１項目しか負荷しないことが複数生じた。３因子の場合はこのようなことがなかったので３因子の母相関行列を分析することにする。

処理

MacCallum et al.(2001)の母相関行列を堀(2002)を使って分析した。

母相関行列をそのまま、300ケースのデータとみなし処理する。このことによる問題はいくつかあるが、今回は無視する。

表１.母相関行列の分析結果

RMSEA	0.065			0.090			0.025
共通性	高	低	広	高	低	広	高	低	広
	20_3h065	20_3l065	20_3w065	20_3h090	20_3l090	20_3w090	20_3h025	20_3l025	20_3w025	不正解数
MAP-TEST	3	3	3	3	3	3	3	2	3	1
RAW-EIGEN	3	5	3	3	7	4	3	3	3	3
PA-EIG-M	3	3	3	3	3	3	2	3	3	1
PA-EIG95	3	3	3	3	3	3	2	3	3	1
SMC-EIGEN	10	9	9	10	9	9	5	7	7	9
PA-SMC-M	3	4	3	3	8	5	3	3	3	3
PA-SMC-95	3	4	3	3	7	5	3	3	3	3
SE-SCREE	3	4	4	3	7	5	3	3	3	4
SAS-UL-PR	3	3	3	3	4	4	3	2	3	3
SAS-ML-PR	3	3	3	3	4	3	3	2	3	2

CHI^2	4	4	4	9	8	7	3	2	3	7
AIC	4	4	5	8	8	7	3	3	3	6
BIC	3	3	3	3	3	3	3	3	3	0
CAIC	3	3	3	3	3	3	3	2	3	1

RMSEA	3	3	3	8	6	5	3	2	3	4
GFI	3	3	3	5	4	4	3	2	3	4
AGFI	3	3	3	8	7	7	3	2	3	4
PGFI	3	1	3	3	1	3	3	2	3	3
RGFI	3	2	3	3	3	3	3	2	3	2
RMSR	3	3	3	3	3	3	2	2	3	2

NFI	3	4	3	3	6	4	2	3	3	4
NNFI	3	4	3	5	8	6	3	2	3	5
CFI	3	3	3	3	7	5	3	2	3	3
正答数	20	12	19	16	7	9	18	9	22

表２.不正解数の分析

不正解数
0	BIC
1	MAP, PA-EIEGEN-M, PA-EIGEN-95, CAIC
2	SAS-ML-PR, RGFI, RMSR
3	RAW-EIGEN, PA-SMC-M, PA-SMC-95, SAS-UL-PR, PGFI, CFI
4	SE-SCREE, RMSEA, GFI, AGFI, NFI
5	NNFI
6	AIC
7	CHI^2
9	SMC-EIGNEN

結果と考察

因子数決定の指標からの因子数は表１にある。不正解数の表が表2にある。

表１の正答数からみると、マイナー因子が大きい、RMSEA=0.090 のときの推定がわるい。また、共通性が低いときに推定がうまくいかない。全体としては共通性がHIGH のときの推定がもっともよい。ところが、RMSEA=0.020 のときはWIDE のときのほうが少しよい。本格的に分析するにはもっと多くの母相関行列を使用しないといけないが、このデータからすると、RMSEA と共通性に交互作用がある。

因子数決定の指標については、このデータの場合、BIC がもっともよい。不正解数の3まではある程度使える可能性があるといえよう。５以上の不正解数のNNFI、AIC、CHI^2、SMC-EIGNEN は指標としては使えないものと言えない。特にSMC-EIGNENはすべて大きく判定するので、指標としてははっきりと不適である。CHI^2はマイナー因子が大きくないRMSEA=0.20の共通性がHIGH と WIDEのみが正しく推定している。マイナー因子が大きいとき、さらに共通性高いものがあるときのみに正しく予測できる。探索的因子分析において使用できない指標であることがわかる。AICがここまで悪いのは意外である。サンプルサイズが300であり、AIC、BIC両者に優位なようにしている。NNFI はTLI(Tucker-Lewis-Index)であるが、マイナー因子に弱いようである。

SE-SCREE, RMSEA, GFI, AGFI, NFI は不正解数４である。まったくダメというものではないが、使わない方がよい。RMSEA は今回コントロールしているものであるが、RMSEA=0.090 の場合はまったくよくない。RMSEA=0.020 の場合でも、共通性が低いときに少ない因子数となっている点が注目される。その他の指標は堀(2003a)においてもいい指標とは言えないのでダメと判断してよい。

不正解数３のRAW-EIGEN, PA-SMC-M, PA-SMC-95, SAS-UL-PR, PGFI, CFI はあまりよくない。RAW-EIGENは一貫して多目に外れている。PA-SMC-M, PA-SMC-95は一貫して多目のほうに外れる。マイナー因子が大きいとき、共通性が小さいときに多目になっていてマイナー因子の影響を受けやすい。SAS-UL-PR、CFIは予測因子数が正解と上下し、安定しない指標であることがわかる。PGFIは共通性が低いときに外れている。

不正解数２のSAS-ML-PR, RGFI, RMSRは比較的良好といえる。SAS-ML-PRは予測因子数が正解と上下し、安定しない指標であることがわかる。RGFIは共通性が低いときに少な目に外れているRMSRはRMSEA=0.020のときに少な目に外れている。

MAP, PA-EIEGEN-M, PA-EIGEN-95, CAIC は不正解数１と良好な予測をしている。PA-EIEGEN-M, PA-EIGEN-95が良好な推測をしているのは、今回のデータの一般因子の程度が低いためである。

討論

堀(2001)において提案したMAPとPA-SMC-95の予測因子数で挟み込むという方法はここでも有効であることが示された。

MAPの予測は多くの場合に正しい。安定した推定をする(堀, 2003a)。また、推定が違う場合は過小因子数となる。このことから唯一の指標として参考にするなら、今のところMAPである。しかし、過小推定することを考慮するとMAPのみに因子数推定を依存することはよくない。

PA-SMC-95はマイナー因子の影響を受けやすいことが立証された。マイナー因子の影響を受けて因子数を多目に推測することがある。しかし、データの多少のゆれに関わらず安定した推定をする(堀, 2003a)。さらに、過小推定をすることはなく、推定数が間違う場合は、常に多目の推定である(堀, 2003a, b および本論文)。MAPが正しくない場合、PA-SMC-95が正しく推定していることが多くあり(堀, 2001, 2003b,本稿)その意味でも参考にすべき因子推定法である。

このことから、MAPとPA-SMC-95の推定因子数の間に真の因子数があるとすることができる。

引用文献

堀　啓造(2001). parallel analysis (因子分析の因子決定法). http://www.ec.kagawa-u.ac.jp/~hori/yomimono/pa.html
堀　啓造(2002). excel vba program for faccon.exe コバンザメアプリ http://www.ec.kagawa-u.ac.jp/~hori/delphistat/hattori.html
堀　啓造(2003a). 因子数決定法の検討－Holzinger and Swineford(1939)の知能データをもとにして. http://www.ec.kagawa-u.ac.jp/~hori/yomimono/pa2.html
堀　啓造(2003b). 因子分析練習帳１ Gorsuch(1983)変数サンプリング. http://www.ec.kagawa-u.ac.jp/~hori/yomimono/fanote1.html

MacCallum, R. C., Widaman, K. F., Preacher, K. J., & Hong, S. (2001). Sample size in factor analysis: The role of model error. Multivariate Behavioral Research, 36 (4), 611-637. http://www.unc.edu/%7Ercm/mwph/popmats.htm

Tucker, L. R, Koopman, R. F., & Linn, R. L. (1969). Evaluation of factor analytic research procedures by means of simulated correlation matrices. Psychometrika, 34, 421-459.

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